Исследовать
систему уравнений и решить ее, если она совместна
|
Если величина сохраняет постоянное значение лишь в условиях данного процесса, то в этом случае она называется параметром. Например, параметрами являются курс конкретной денежной единицы в определенный момент времени, стоимость единицы продукции в данное время и в данном месте.Аналитическая геометрия
Задача
Даны три последовательные вершины параллелограмма А(2;-3), В(5;1),С(3;-4). Не находя координаты вершины D, найти:
уравнение стороны AD;
уравнение высоты BK, опущенной из вершины В на сторону AD;
длину высоты BK;
уравнение диагонали BD;
тангенс угла между диагоналями параллелограмма.
Записать общие уравнения найденных прямых. Построить чертеж.
Привести уравнение кривой второго порядка к каноническому виду и построить кривую. Решение. Для приведения уравнения кривой второго порядка к каноническому виду применяют метод выделения полного квадрата.
Решение.
Сначала построим чертеж. Построим в прямоугольной декартовой системе координат точки
,
,
. Построим отрезки
и
.
Рис. 1
Достроим полученный рисунок до параллелограмма и нанесем на чертеж высоту BK.
![]()
Рис. 2
Суммой двух векторов
и
называется вектор
, который идет из начала вектора
в конец вектора
при условии, что вектор
приложен к концу вектора
(рис. 3.2, а) (правило треугольника). Очевидно, что вектор
в этом случае представляет диагональ параллелограмма, построенного на векторах
и
(рис. 3.2, б) (правило параллелограмма).
Аналогично определяется сумма нескольких векторов: если векторы
,
,…,
образуют ломаную
, то суммой этих векторов является вектор
, замыкающий эту ломаную (рис. 3.2, в) (правило многоугольника).
В частности, если ломаная замыкается, т.е.
, то сумма ее звеньев равна нулевому вектору
.
Разностью двух векторови
называется вектор
, являющийся суммой векторов
и
. Отметим, что вектор
направлен к концу вектора
, если
и
приведены к общему началу ( рис. 2.2, б).
Понятие функциональной зависимости. Пусть даны два непустых множества
и
множества
. Если каждому элементу
ставится в соответствие один и только один элемент
, то
называется функцией
(отображением) аргумента
. Это записывается в виде
. (4.1)
Другими словами, с помощью функции
подмножество
отображается в подмножество
, поэтому вместо соотношения (12.1) допустима запись
. (4.2)
Подмножество
называется областью определения (существования) функции
, подмножество
– множеством ее значений. Аргумент
часто называют независимой переменной, функцию
– зависимой переменной, а соответствие между ними – функциональной зависимостью.
Кроме буквы
для обозначения функций используют и другие буквы, например:
,
,
,
и т.д. Значение, которое функция
принимает при
, обозначается
.
Составим уравнение прямой AD. Составим уравнение высоты
, проведенной из вершины
на сторону
как уравнение прямой, проходящей через точку
перпендикулярно прямой
. Найдем уравнение диагонали
как уравнение прямой, проходящей через точки
и
, где
- середина отрезка
. Найдем тангенс угла между диагоналями
и
.
Составить уравнение плоскости, проходящей через точки
,
,
.
Найти область определения функции
.
Найти расстояние от точки
до плоскости
:
.
Найти косинус угла между плоскостями
и
.
Найти направляющий вектор прямой
.
Составить канонические уравнения прямой
, проходящей через точку
параллельно прямой
:
Найти угол между прямой
:
и плоскостью
:
..
Составить уравнение плоскости
, проходящей через точку
перпендикулярно прямой
:
.
Составить канонические уравнения прямой
, проходящей через точку
перпендикулярно плоскости
:
К кривым второго порядка относятся эллипс, гипербола, парабола. Приведем рисунки и канонические уравнения этих кривых.
Привести уравнение кривой второго порядка
к каноническому виду и построить кривую. Решение. Для приведения уравнения кривой второго порядка к каноническому виду применяют метод выделения полного квадрата.
Привести уравнение кривой второго порядка
к каноническому виду и построить кривую.
Кривая задана в полярной системе координат уравнением
.
Построить на плоскости геометрическое место точек, определяемое неравенствами