Аналитическая геометрия
Задача
Даны три последовательные вершины параллелограмма А(2;-3), В(5;1),С(3;-4). Не находя координаты вершины D, найти:
уравнение стороны AD;
уравнение высоты BK, опущенной из вершины В на сторону AD;
длину высоты BK;
уравнение диагонали BD;
тангенс угла между диагоналями параллелограмма.
Записать общие уравнения найденных прямых. Построить чертеж.
Привести уравнение кривой второго порядка к каноническому виду и построить кривую. Решение. Для приведения уравнения кривой второго порядка к каноническому виду применяют метод выделения полного квадрата.
Решение.
Сначала построим чертеж.
Построим в прямоугольной декартовой системе координат точки 
,
, 
. Построим отрезки 
и 
.
Рис. 1
Достроим полученный рисунок до параллелограмма и нанесем на чертеж высоту BK.
Рис. 2
Суммой двух векторов 
и 
называется вектор 
, который идет из начала вектора 
в конец вектора 
при условии, что вектор приложен к концу вектора (рис. 3.2, а) (правило треугольника).
Очевидно, что вектор в этом случае представляет диагональ параллелограмма,
построенного на векторах и (рис. 3.2, б) (правило параллелограмма).
Аналогично
определяется сумма нескольких векторов: если векторы 
,
,…, 
образуют ломаную 
, то суммой этих векторов является вектор 
, замыкающий эту ломаную (рис. 3.2,
в) (правило многоугольника).
В частности, если ломаная замыкается, т.е.
, то сумма ее звеньев равна нулевому вектору
.
Разностью двух векторов
и называется вектор 
, являющийся суммой векторов и 
. Отметим, что вектор направлен к концу вектора , если и приведены к общему началу ( рис. 2.2, б).
Понятие
функциональной зависимости. Пусть даны два непустых множества 
и 
множества 
. Если каждому элементу 
ставится в соответствие один и только один
элемент 
, то 
называется функцией 
(отображением) аргумента 
. Это записывается в виде
.
(4.1)
Другими словами, с помощью функции 
подмножество отображается в подмножество 
, поэтому вместо соотношения (12.1) допустима
запись
. (4.2)
Подмножество
называется областью определения (существования) функции
, подмножество – множеством ее значений. Аргумент
часто называют независимой переменной,
функцию – зависимой переменной,
а соответствие между ними – функциональной зависимостью.
Кроме буквы для обозначения функций используют и другие буквы, например:
, 
, 
, 
и т.д. Значение, которое функция 
принимает при 
, обозначается 
.
Составим уравнение прямой
AD. Составим уравнение высоты 
, проведенной из вершины 
на сторону 
как уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно прямой . Найдем уравнение
диагонали 
как уравнение прямой, проходящей через точки
и 
, где - середина отрезка 
. Найдем тангенс угла между диагоналями
и .
Составить уравнение плоскости,
проходящей через точки 
, 
, 
.
Найти область определения
функции 
.
Найти
расстояние от точки 
до плоскости 
: 
.
Найти косинус угла между
плоскостями 
и 
.
Найти направляющий вектор
прямой 
.
Составить канонические
уравнения прямой 
, проходящей через точку 
параллельно прямой 
: 
Найти угол между прямой
: 
и плоскостью : 
..
Составить уравнение плоскости
, проходящей через точку 
перпендикулярно прямой : 
.
Составить канонические уравнения
прямой , проходящей через точку 
перпендикулярно плоскости : 
К кривым второго порядка относятся эллипс, гипербола, парабола. Приведем рисунки и канонические уравнения этих кривых.
Привести
уравнение кривой второго порядка 
к каноническому виду и
построить кривую. Решение. Для приведения уравнения кривой второго порядка
к каноническому виду применяют метод выделения полного квадрата.
Привести
уравнение кривой второго порядка 
к каноническому виду и построить
кривую.
Кривая задана в полярной системе координат
уравнением 
.
Построить на плоскости геометрическое
место точек, определяемое неравенствами 