Физика примеры решения задач Электротехника Задачи и лабораторные работы Математика примеры решения задач Вычислить интеграл Информатика Компьютерные сети Компьютерная математика
Исследовать систему уравнений и решить ее, если она совместна

Контрольная работа по математике примеры решений

Пример. Исследовать систему уравнений и решить ее, если она совместна.

 x1 + x2 - 2x3 - x4 + x5 =1,

 3x1 - x2 + x3 + 4x4 + 3x5 =4,

 x1 + 5x2 - 9x3 - 8x4 + x5 =0.

Решение. Будем находить ранги матриц A и `A методом элементарных преобразований, приводя одновременно систему к ступенчатому виду:

~  ~ .

Очевидно, что r(A) = r(`A) = 2. Исходная система равносильна следующей, приведенной к ступенчатому виду:

  x1 + x2 - 2x3 - x4 + x5 = 1,

 - 4x2 + 7x3 + 7x4 = 1.

Поскольку определитель при неизвестных x1 и x2 отличен от нуля, то их можно принять в качестве главных и переписать систему в виде:

 x1 + x2 = 2x3 + x4 - x5 + 1,

 - 4x2 = - 7x3 - 7x4 + 1,

откуда x2 = 7/4 x3 + 7/4 x4 -1/4, x1 = 1/4 x3 -3/4 x4 - x5 + 5/4 - общее решение системы, имеющей бесчисленное множество решений. Придавая свободным неизвестным x3, x4, x5 конкретные числовые значения, будем получать частные решения. Например, при x3 = x4 = x5 = 0 x1= 5/4, x2 = - 1/4. Вектор C(5/4, - 1/4, 0, 0, 0) является частным решением данной системы.

Матричный метод Если матрица А системы линейных уравнений невырожденная, т.е.
det A ¹ 0, то матрица А имеет обратную, и решение системы совпадает с вектором C = A-1B. Иначе говоря, данная система имеет единственное решение. Отыскание решения системы по формуле X=C, C=A-1B называют матричным способом решения системы, или решением по методу обратной матрицы.


Исследование функций