Физика примеры решения задач Электротехника Задачи и лабораторные работы Математика примеры решения задач Вычислить интеграл Информатика Компьютерные сети Компьютерная математика
Дифференцируемость ФНП Вычислить интеграл Вычислить момент инерции Вычислить повторный интеграл Линейное дифференциальное уравнение

Математика типовые задачи курсовая примеры

Метод интегрируемых комбинаций

Иногда при решении СДУ  удается преобразовать уравнения СДУ к ДУ относительно некоторой комбинации искомых функций, которое легко интегрируется. В результате находим соотношение вида , связывающее искомые функции  и аргумент  (это соотношение называют первым интегралом СДУ). Очевидно, что если найти  первых интегралов , и они окажутся линейно независимыми относительно  (якобиан ), то СДУ решена, и ее ответ записывается либо в виде общего интеграла – совокупности  линейно независимых первых интегралов, либо в виде общего решения (после того, как  уравнений , разрешены относительно ).

ПРИМЕР 5. Решить СДУ

Решение. СДУ состоит из двух нелинейных ДУ. Ее можно свести к одному ДУ , но его решение достаточно сложное. В то время, как интегрируемые комбинации очевидны; складываем оба уравнения системы и получаем ДУ  относительно комбинации функций . Решаем ДУ разделением переменных , после интегрирования имеем  или  – первый интеграл СДУ.

Вычитая уравнения, получим ДУ  или  – также первый интеграл СДУ. Обозначим через  и  и составим якобиан

 

в при  (при  СДУ сводится к ДУ ).

Заметим, что не всякое соотношение, связывающее неизвестные функции, аргумент и постоянную, является первым интегралом решаемой СДУ.

Первым интегралом СДУ ,  
называется такое соотношение вида , которое обращается в тождество при подстановке всякого решения СДУ, при этом сама функция  не тождественна постоянной.

 Технику работы с этим правилом будем осваивать, начиная с простейших случаев, при этом будем формулировать частные правила, вытекающие из общего.

1. Если f(x) = Pm(x) (т.е. f(x) - многочлен степени m), то частное решение ищется в виде yчн(x)= Rm(x), если число 0 не является корнем характеристического уравнения, и в виде yчн(x)= xr Rm(x), если число 0 - корень характеристического уравнения кратности r. Rm(x) - многочлен степени m с неопределёнными коэффициентами.

Это правило следует из общего, если записать f(x) = Pm(x) в виде f(x) = e0 x [Pm(x) cos 0x + 0 sin 0x]. В этом случае s0 = 0 + 0i =0, m1 = m, m2 = 0, max(m1,m2) = m, поэтому

yчн(x)= xr e0 x [Rm(x) cos 0x + Sm(x) sin 0x] = xr Rm(x) .

 – СДУ второго порядка сводится к ДУ , откуда   и из первого уравнения , т.е.  – общее решение СДУ.

СДУ в нормальной форме  может быть представлена в виде , симметричном относительно переменных. Так, например, симметричная форма записи СДУ

Достаточные условия существования единственного решения задачи Коши для СДУ вида

Свойства решений СОЛДУ Рассмотрим вектор-функции  и . При каждом   и  линейно зависимы, но ни одна из этих вектор-функций не получается из другой умножением на число, т.е. на  эти функции линейно независимые. Теорема о структуре общего решения СОЛДУ

Некоторые свойства матриц ФСР СОЛДУ Общее решение СОЛДУ  запишется , где  – произвольный вектор, . При этом задача Коши  имеет единственное решение , поскольку из соотношения  имеем .

Пример Решить СДУ 

Метод Эйлера

Решить СОЛДУ . Решить СОЛДУ  .

Применение дифференциала в приближённых вычислениях. Именно близость исходной функции и её касательной в окрестности точки касания служит источником многочисленных приближённых формул для вычисления значений функций Пусть требуется вычислить значение функции в точке х1. Подбирают близкую к точке х1 точку x, в которой легко вычислить точное значение у(x) и у'(x), тогда Dх = х1- х и у(x+Dх) @ у(x)+ у'(x)
Некоторые механические приложения интеграла ФНП