Физика примеры решения задач Электротехника Задачи и лабораторные работы Математика примеры решения задач Вычислить интеграл Информатика Компьютерные сети Компьютерная математика
Дифференцируемость ФНП Дифференциалы высших порядков Производная сложной ФНП Вычислить интеграл Вычисление площади плоской фигуры Вычисление криволинейных интегралов Длина дуги в декартовых координата

Математика курсовые задачи примеры решений

Вычисление интеграла ФНП.

Типовые задачи

Вычисление площади криволинейной поверхности

ПРИМЕР. Вычислить площадь частей сферы , лежащих внутри цилиндра .

Решение. Цилиндр  "вырезает" из сферы две части:  – соответственно для  и  – для ; они
равновелики.

Воспользуемся формулой , где  – проекция поверхности  на плоскость ; ;  для , т.е. . Проведем счет в полярных координатах.
В силу симметрии поверхности  ее площадь , где Тройной интеграл примеры решений задач типового расчета по математике

.

Площадь частей сферы внутри цилиндра

.

7.7.5. Вычисление тройных интегралов проводим для специального вида областей интегрирования – правильных в направлении одной из осей координат.

Так, например, область ,  называется правильной в направлении оси , если всякая параллельная оси  прямая
пересекает границу области  не более чем в двух точках. В этом случае область  ограничена снизу и сверху поверхностями  и  соответственно, а "с боков" – возможно цилиндрической поверхностью с образующей параллельной оси  и
направляющей – границей области  – проекцией тела  на плоскость  (см. рисунок). Вычисление тройного интеграла в рассматриваемом случае проводится по формуле

,

при этом сначала вычисляется внутренний интеграл по переменной ( и  предполагаются неизменяющимися) как определенный
интеграл, а затем вычисляется двойной интеграл от полученной функции от  и  по области . [an error occurred while processing this directive]

Аналогично формулируются правила вычисления тройного интеграла по области, правильной в направлении оси  и соответственно правильной в направлении оси .

Если область , , не является правильной в направлении какой-либо оси, то ее разбивают на части, каждая из которых правильная в направлении какой-либо оси, и проводят счет.

Вычислить интеграл , где  – призма, ограниченная координатными плоскостями , ,  и плоскостью .

Вычислить интеграл , где   – шаровое кольцо .

Вычислить объем тела, ограниченного эллипсоидом .

Вычисление криволинейных интегралов I рода Вычислить интеграл , если  , , .

Важно осознать, что в этом выражении не обязательно понимать dх как бесконечно малую, dх - произвольное не зависящее от х приращение аргумента (но именно при dх®0 и dу®0, и призведение у'(x)dх = dy становится главной частью приращения функции). Так как у'(x)=tg(a) - угловой коэффициент касательной, то геометрически дифференциал dy - это приращение ординаты касательной при смещении абсциссы на dх =Dх. Значение dy может значительно отличаться от приращения функции Dу, но при достаточно малых Dх (в окрестности точки касания) они близки (участок АВ графика функции).
Формула Тейлора позволяет вычислять приближенно значение функции