binomo
Физика примеры решения задач Электротехника Задачи и лабораторные работы Математика примеры решения задач Вычислить интеграл Информатика Компьютерные сети Компьютерная математика
Дифференцируемость ФНП Дифференциалы высших порядков Производная сложной ФНП Вычислить интеграл Вычисление площади плоской фигуры Вычисление криволинейных интегралов Длина дуги в декартовых координата

Математика курсовые задачи примеры решений

Вычисление интеграла ФНП.

Типовые задачи

1) Вычисление  проводится по формуле Ньютона – Лейбница, если известна какая-либо первообразная подынтегральной функции.

Если для вычисления первообразной применяется "интегрирование по частям", то эту операцию можно проводить сразу и для
определенного интеграла:

.

ПРИМЕР 1. Вычислить интеграл .

Решение.

.

Замена переменной интегрирования в определенном интеграле проводится соответственно следующей теореме.

Теорема (о замене переменной в определенном интеграле) [an error occurred while processing this directive]

Пусть функция  определена и непрерывна на ;
функция ,  удовлетворяет условиям:

1)   ; причем , ;

2)   ;

3)   на , т.е. функция  обратима на  – существует обратная функция , :  на ;  на .

Тогда

,

где  – какая-либо первообразная для подынтегральной функции .

Заметим, что если  на  при выполнении остальных условий и , , то пределы интегрирования по  следует поменять местами.

Доказательство. Рассмотрим интеграл  –
интеграл с переменным верхним пределом – сложная функция от

,

т.е. действительно функция  – первообразная для , поэтому

.

Вычислить интеграл .

Вычисление площади плоской фигуры Площадь фигуры в декартовых координатах Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями  и . Площадь плоской фигуры в полярных координатах

Вычисление объема тела Вычислить объем цилиндрического тела, расположенного между плоскостями   и  и ограниченного поверхностью  и плоскостью .

Механические приложения Пластина имеет форму прямоугольника со сторонами длиной   и . Найти массу этой пластины, если ее плотность распределения массы в произвольной точке равна квадрату расстояния от точки до одной из вершин пластины.

Таким образом, для функции одной переменной существование производной и дифференцируемость - эквивалентные свойства. При этом коэффициент А всегда равен у'(x), и выражение для дифференциала приобретает вид dy = у'(x) Dх. Для независимой переменной х принимают dх= =Dх (формально это можно обосновать так: если у=х, то у'(x)=1, и dy = dх = Dх). Итак, окончательное выражение для дифференциала имеет вид .
Формула Тейлора позволяет вычислять приближенно значение функции