Физика примеры решения задач Электротехника Задачи и лабораторные работы Математика примеры решения задач Вычислить интеграл Информатика Компьютерные сети Компьютерная математика
Дифференцируемость ФНП Дифференциалы высших порядков Производная сложной ФНП Вычислить интеграл Вычисление площади плоской фигуры Вычисление криволинейных интегралов Длина дуги в декартовых координата

Математика курсовые задачи примеры решений

Некоторые свойства интеграла ФНП

1. Если   на , то интеграл  равен значению
меры фигуры , т.е. , например,  длине дуги ;  объему тела и т.д.

2. Вычисление интеграла функции является линейной операцией, т.е. , , , ,

;

предполагается существование всех встречающихся здесь интегралов. Свойство линейности объединяет свойства: однородность и
аддитивность по функции.

3. Аддитивность по множеству интегрирования:

если  – интегрируема на   и фигура  разбита на две фигуры  и  так, что  и  – фигура меньшей размерности, то

.

Например,

,

где . Заметим, что для определенного интеграла написанное равенство верно и для ; предполагается существование
входящих интегралов.

4. Сравнение интегралов:

если    и обе функции интегрируемы на ,
то . [an error occurred while processing this directive]

Частные случаи. 1) Оценка интеграла: если существуют числа  и  такие, что  , то .

2) Для любой интегрируемой функции  на  имеет место неравенство

.

3) Выражение  называется средним значением интегрируемой функции , , на множестве .

Среднее значение на множестве  непрерывной на  функции ,  равно ее значению в некоторой точке  фигуры .

В самом деле, если  – ограниченное связное замкнутое
множество; ,  – непрерывная на  функция, то можно взять , . Тогда из неравенства  по свойствам непрерывной функции имеем

(промежуточное значение между  и  достигается в некоторой точке на ).

Итак, среднее значение непрерывной на  функции  
достигается в некоторой точке на .

Например, среднее значение  на , равное , достигается в точке , поскольку  и

.

Многие теоремы о пределах, рассмотренные подробно для функции одной переменной (сокр. ФОП), могут быть перефразированы и доказаны для ФНП. Это прежде всего теорема об единственности предела (конечного), теорема о локальной ограниченности функции, имеющей конечный предел при , теорема "об арифметике" функций, имеющих конечные пределы при  и т.д. Приемы вычисления предела ФОП также могут быть использованы для ФНП.

Показать, что функция   непрерывна в точке   по каждой координате  и , но не является непрерывной в точке  по совокупности переменных.

Пусть , , . Частные производные первого порядка функции  вводятся соответственно соотношениям

Записать уравнение касательной плоскости к поверхности  в точке .

 Определение дифференцируемости и дифференциала. Пусть функция y = f(x) определена в точке х и некоторой окрестности этой точки и непрерывна в точке х. Тогда приращению Dх аргумента соответствует приращение Dу = f(x+Dх)- f(x), бесконечно малое при Dх®0. В особый класс дифференцируемых функций выделяются функции, для которых Dу с точностью до бесконечно малой высшего порядка по сравнению с Dх линейна по Dх.
Формула Тейлора позволяет вычислять приближенно значение функции