Определение дифференцируемости и дифференциала. Пусть функция y = f(x) определена в точке х и некоторой окрестности этой точки и непрерывна в точке х. Тогда приращению Dх аргумента соответствует приращение Dу = f(x+Dх)- f(x), бесконечно малое при Dх®0. В особый класс дифференцируемых функций выделяются функции, для которых Dу с точностью до бесконечно малой высшего порядка по сравнению с Dх линейна по Dх.Абсолютный экстремум ФНП
Допустимая точка
называется точкой абсолютного минимума (или максимума) ФНП
,
в задаче (*), если
выполняется условие:![]()
или
![]()
. При этом можно записывать
или
.
Задача абсолютного экстремума для ФНП формулируется аналогично этой задаче для функции одной переменной:
найти
и
,
если
– непрерывна на
,
– связная ограниченная замкнутая область.
Алгоритм решения задачи абсолютного экстремума:
1) найти все внутренние допустимые точки, "подозрительные" на
локальный экстремум;2) найти допустимые точки, "подозрительные" на экстремум на
границемножества
;
3) присоединить точки "стыка" границы
;
4) во всех выделенных точках
вычислить значения функции
; выбрать наименьшее число (или
и наибольшее
число (или).
Сформулированная задача абсолютного экстремума всегда имеет решение. Это следует из теоремы Вейерштрасса:
если функция
– непрерывна на ограниченном замкнутом множестве
, то она достигает на множестве
значений
абсолютных минимума и максимума множества.
ПРИМЕР.
,
(см. рисунок).
Решение. 1)
,
. Точка
![]()
лежит внутри области.
2) на отрезке
![]()
,
, имеем
,
при
. Точку
фиксируем для дальнейших рассуждений
На отрезке
![]()
,
, имеем
или
;
при
, поэтому точку
также отбираем.
На отрезке
![]()
,
, имеем
– не имеет точек экстремума на
;
3) точки "стыка"
,
,
границы
;
4) вычисляем значение функции в отобранных точках
,
, получаем конечное множество чисел
.
Отсюда
,
.
ЗАДАНИЕ для САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
1.
,
.
2.
,
.
Ответы. 1.
;
;
;
.
2.
;
.