Абсолютный экстремум ФНП
Допустимая точка 
называется точкой абсолютного минимума (или максимума)
ФНП 
, 
в задаче (*), если
выполняется условие: 
или 
. При этом можно записывать
или 
.
Задача абсолютного экстремума для ФНП формулируется аналогично этой задаче для функции одной переменной:
найти
и 
,
если
– непрерывна на 
,
– связная ограниченная замкнутая область.
Алгоритм решения задачи абсолютного экстремума:
1) найти все внутренние допустимые
точки, "подозрительные" на
локальный экстремум;
2) найти
допустимые точки, "подозрительные" на экстремум на
границе 
множества ;
3) присоединить точки "стыка"
границы ;
4) во всех выделенных точках
вычислить значения функции 
; выбрать наименьшее число (или 
и наибольшее
число (или 
).
Сформулированная задача абсолютного экстремума всегда имеет решение. Это следует из теоремы Вейерштрасса:
если
функция – непрерывна на ограниченном замкнутом множестве , то она достигает на множестве
значений
абсолютных минимума и максимума множества 
.
ПРИМЕР. 
,
(см. рисунок).
Решение. 1) 
, 
. Точка 
лежит внутри области .
2)
на отрезке 
, 
, имеем 
, 
при 
. Точку 
фиксируем для дальнейших рассуждений
На отрезке
, , имеем
или 
; 
при 
, поэтому точку 
также отбираем.
На отрезке 
, 
, имеем 
– не имеет точек экстремума на 
;
3) точки "стыка" 
, 
, 
границы ;
4) вычисляем значение функции в отобранных точках
, 
, получаем конечное множество чисел
.
Отсюда
, 
.
ЗАДАНИЕ для САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
1. 
,
.
2. 
,
.
Ответы. 1. 
;
;
;
.
2. 
;
.