Дифференциальное исчисление Производные и дифференциалы высших порядков

 

 

Производная Определение производной

Геометрическая интерпретация производной

Дифференциал функции

Основные правила дифференцирования

Производная сложной функции

Вычисление производной обратной функции

Производные элементарных функций

Функции заданные параметрически

Производные и дифференциалы высших порядков

Производные высших порядков

Вычисление производных функций, заданных неявно

Формула Лейбница

Дифференциалы высших порядков

Инвариантность формы дифференциала первого порядка

Частное решение неоднородного уравнения следует искать в виде , где , если число не является корнем характеристического уравнения, и 3/4 в противном случае (при ); и 3/4 полные многочлены от степени, , т. е. (содержит все степени от 0 до ).При равно кратности корня характеристического уравнения, равного , и , если не есть корень характеристического уравнения. Неопределенные коэффициенты можно найти из системы линейных алгебраических уравнений, получаемых приравниванием коэффициентов подобных членов в левой и правой частях исходного уравнения после подстановки в него вместо .

Если правая часть исходного уравнения равна сумме нескольких различных функций рассматриваемого вида, то находят частные решения, соответствующие отдельным слагаемым правой части, и в качестве берут их сумму.

Примеры. 1) Решить уравнение при начальных условиях . Характеристическое уравнение имеет корни , следовательно, . Частное решение неоднородного уравнения ищем в виде , т. к. не является корнем характеристического уравнения, поэтому , а следовательно, . Далее имеем . Подставляя в исходное уравнение, получим

.Приравнивая коэффициенты при и в левой и правой частях тождества, найдем . Следовательно, общее решение данного уравнения имеет вид . Постоянные и находим из начальных условий: или . Тогда .

2) Решить уравнение . Характеристическое уравнение имеет корни . Следовательно, 3/4 общее решение однородного уравнения. Правую часть нужно разбить на 2 слагаемых: и . Для первого частное решение ищем в виде , (т. к. 3/4 не корень характеристического уравнения, то ) и для второго 3/4 в виде .

 
Электротехника курсовые, лабораторные, практика Математика, физика