Билеты к экзамену Курс высшей математики

 

Локальный экстремум функций нескольких переменных. Необходимые условия безусловного локального экстремума

Опр: Пусть дана функция  n-переменных 

Пусть дана точка M0 с координатами , точка M0 называется локальным max(min) если $ dокр точки M0 : "x Îdокр справедливо

( "x Î dокр ), dокр называется множество n мерном пространстве).

 Вычислить массу поверхности Математика Примеры вычисления интегралов Дифференциальные уравнения

Опр: локального экстремума. Точка локального max или min называются точкой экстремума.

 

Необходимые условия экстремума функции многих переменных.

 

Опр: стационарной точки. Если функция дифференцируема в точке M0 то необходимым условием существования экстремума в этой точке является требование ее стационарности: 

( , если  )

Стационарная точка – точка где все частные производные по всем аргументам равны 0.

Д-во: Зафиксируем все переменные оставив только x1 

фиксируя любую другую переменную получаем тоже самое.

 

 

Опр: Необходимое условие экстремума.

В точке экстремума функции n-переменных дифференциал обращается в ноль.

Опр: дифференциала.  

 
 

 

 


Если локальный экстремум , если  - независимы

Замечание: если выполнено необходимое условие экстремума то она не обязательно является экстремумом.

Истина: Если точка – стационарная , то она не обязательно – экстремум , ВООБЩЕ ГОВОРЯ !

Экстремум же всегда является стационарной точкой !

Пример :  (0,0), x>0, y>0 ® z>0,  x<0, y<0® z<0,  но dz =0.

 

Достаточные условия безусловного локального экстремума. Достаточные условия применительно к функции двух переменных

Собственные интегралы, зависящие от параметра. Переход к пределу под знаком интеграла

Дифференцирование под знаком интеграла, зависящего от параметра

Случай, когда пределы интеграла зависят от параметра. Формула Ньютона-Лейбница

Несобственные интегралы, зависящие от параметра. Равномерная сходимость по параметру

Необходимое и достаточное условие равномерной сходимости по параметру Критерий Коши

Достаточное условие( признак Вейерштрасса)

Основные теоремы о равномерно сходящихся по параметру интегралах

Интеграл Фурье.

Интегралы Эйлера. Гамма функция, свойства

Интегралы Эйлера. Бета функция, свойства.

Двойной интеграл. Суммы Дарбу, свойства. Квадрируемость

Тройной интеграл. Суммы Дарбу, свойства. Кубируемость

Замена переменных в двойном и тройном интегралах. Якобиан. Цилиндрическая, сферическая система координат

Замена переменных для интегралов любой кратности.

Криволинейные интегралы первого рода

Криволинейные интегралы второго рода.

Формула Грина

Элементы теории поверхностей

Поверхностный интеграл 1,2-го рода. И связь между ними.

Формула  Гаусса –Остроградского

Теорема Стокса

Потенциальные  и соленоидальные поля

Электротехника курсовые, лабораторные, практика Математика, физика