Введение в математический анализ Последовательности

  Определение. 1) Если xn+1 > xn для всех n, то последовательность возрастающая.

 2)Если xn+1 ³ xn для всех n, то последовательность неубывающая.

  3)Если xn+1 < xn для всех n, то последовательность убывающая.

 4)Если xn+1 £ xn для всех n, то последовательность невозрастающая

Все эти последовательности называются монотонными. Возрастающие и убывающие последовательности называются строго монотонными.

 

  Пример. {xn} = 1/n – убывающая и ограниченная

 {xn} = n – возрастающая и неограниченная.

  Пример. Доказать, что последовательность {xn}= монотонная возрастающая.

 

  Найдем член последовательности {xn+1}=

Найдем знак разности: {xn}-{xn+1}=

, т.к. nÎN, то знаменатель положительный при любом n.

Таким образом, xn+1 > xn. Последовательность возрастающая, что и следовало доказать.

 

  Пример. Выяснить является возрастающей или убывающей последовательность

{xn} = .

 

  Найдем .  Найдем разность

, т.к. nÎN, то 1 – 4n <0, т.е. хn+1 < xn. Последовательность монотонно убывает.

 

Следует отметить, что монотонные последовательности ограничены по крайней мере с одной стороны.

 

  Теорема. Монотонная ограниченная последовательность имеет предел.

 

  Доказательство. Рассмотрим монотонную неубывающую последовательность

 

х1 £ х2 £ х3 ££ хn £ xn+1 £

Эта последовательность ограничена сверху: xn £ M, где М – некоторое число.

Т.к. любое, ограниченное сверху, числовое множество имеет четкую верхнюю грань, то для любого e>0 существует такое число N, что xN > a - e, где а – некоторая верхняя грань множества.

Т.к. {xn}- неубывающая последовательность, то при N > n  а - e < xN £ xn,

xn > a - e.

Отсюда a - e < xn < a + e

-e < xn – a < e или ôxn - aô< eт.е. lim xn = a.

 

Для остальных монотонных последовательностей доказательство аналогично.

 

Посев семян тыквы рекомендуется проводить в мае при дневной температуре воздуха не менее +12 °С. На рисунке показан прогноз дневной температуры воздуха в первой и второй декадах мая. Определите, в течение скольких дней за этот период можно производить посев тыквы.
Математика Интегральное исчисление Основы оптики Практические занятия правила работы с матрицами и примеры матричных расчетов