Примеры исследования функций и построения
графиков
Пример
7.39 Построим график
функции .
1). Функция --
многочлен, а у всех многочленов область определения -- вся вещественная ось:
.
2). Многочлены бывают чётными функциями, если содержат
только чётные степени переменного ,
и нечётными функциями, если содержат только нечётные степени .
Для функции
это не так, значит,
не является ни чётной, ни нечётной функцией.
Периодическими
из всех многочленов бывают только постоянные, то есть не зависящие от ;
в нашем случае это не так, поэтому --
не периодическая функция.
3). Вертикальных асимптот график
не имеет, поскольку область определения не имеет граничных точек. (У графиков
многочленов вообще не бывает вертикальных асимптот.)
4).
Поскольку многочлен имеет степень 3 (а не 1 или 0), то его график не имеет наклонных
или горизонтальных асимптот.
5). Пересечение с осью
найдём, вычислив значение
при :
имеем .
Для нахождения пересечений графика с осью
следует решить уравнение .
Целых корней это уравнение не имеет. Вычисляя значения в некоторых целых точках,
например,
[an error occurred while processing this directive]
мы начинаем подозревать,
что уравнение имеет только один корень ,
лежащий на интервале ,
причём ближе к точке ,
чем к 0. (Действительно, если применить какой-либо из методов приближённого нахождения
корней алгебраического уравнения, мы получим, что .
Эти методы мы изучим ниже, в главе 9. А пока нам достаточно того, что .)
Заметим, что
меняет знак с
на
при переходе через точку .
6). Производная данной функции равна .
Найдём интервалы возрастания функции, решая неравенство .
Корни квадратного трёхчлена -- это ,
значит, решением неравенства служит объединение интервалов
и .
На каждом из этих интервалов функция
возрастает. Интервалы убывания задаются обратным неравенством ,
то есть .
Его решением служит интервал .
На этом интервале функция убывает.
В точке
возрастание функции сменяется убыванием, значит, --
точка локального максимума. Значение функции в этой точке равно
В точке
убывание функции сменяется возрастанием, значит, --
точка локального минимума. Значение функции в этой точке равно
Как мы видим, на участке
убывания значения функции изменяются от
до
и остаются положительными. Это доказывает, что сама функция действительно имеет
только один корень.
7). Вторая производная функции равна
.
Для отыскания интервала выпуклости решим неравенство ,
то есть ,
откуда .
Значит, функция выпукла на интервале .
Обратное неравенство
даёт нам интервал вогнутости; очевидно, это .
В точке
направление выпуклости меняется, следовательно, --
это точка перегиба. Значение функции в этой точке равно .
8). С учётом предыдущих семи пунктов строим график функции
.
Рис.7.46.График
функции
Вертикальные асимптоты. Выяснить, как ведёт себя функция при приближении аргумента к граничным точкам области определения D(f), если такие граничные точки имеются. При этом могут обнаружиться вертикальные асимптоты. Если функция имеет такие точки разрыва, в которых она не определена, то эти точки тоже проверить на наличие вертикальных асимптот функции.