Матрицы Ранг матрицы

В этом разделе рассмотрим еще одну важную числовую характиристику матрицы, связанную с тем, насколько ее строки (столбцы) зависят друг от друга.

        Определение 14.10   Пусть дана матрица $ A$ размеров $ m\times n$ и число $ k$ , не превосходящее наименьшего из чисел $ m$ и $ n$ : $ {k\leqslant \min(m,n)}$ . Выберем произвольно $ k$ строк матрицы $ A$ и $ k$ столбцов (номера строк могут отличаться от номеров столбцов). Определитель матрицы, составленной из элементов, стоящих на пересечении выбранных $ k$ строк и $ k$ столбцов, называется минором порядка $ k$ матрицы $ A$ .         
        Пример 14.9   Пусть $ {A=\left(\begin{array}{rrrr}1&2&-1&0\\ 3&4&-5&6\\ 5&-2&-3&-4\end{array}\right)}$ .
Минором первого порядка является любой элемент матрицы. Так 2, $ -5$ , $ -4$  -- миноры первого порядка.
Миноры второго порядка:
  1. возьмем строки 1, 2, столбцы 1, 2, получим минор $ {\left\vert\begin{array}{rr}1&2\\ 3&4
\end{array}\right\vert=-2}$ ;
  2. возьмем строки 1, 3, столбцы 2, 4, получим минор $ {\vphantom{\begin{array}{r}1\\ 2\\ 3\end{array}}\left\vert\begin{array}{rr}2&0\\ -2&-4\end{array}\right\vert=-8}$ ;
  3. возьмем строки 2, 3, столбцы 1, 4, получим минор $ {\left\vert\begin{array}{rr}3&6\\ 5&-4
\end{array}\right\vert=-42}.$
Миноры третьего порядка:
строки здесь можно выбрать только одним способом,
  1. возьмем столбцы 1, 3, 4, получим минор $ {\vphantom{\begin{array}{r}1\\ 2\\ 3\\ 1\end{array}}\left\vert\begin{array}{rrr}1&-1&0\\ 3&-5&6\\ 5&-3&-4\end{array}\right\vert=-4}$ ;
  2. возьмем столбцы 1, 2, 3, получим минор $ {\left\vert\begin{array}{rrr}1&2&-1\\ 3&4&-5\\ 5&-2&-3\end{array}\right\vert=-28}$ .
        
        Предложение 14.23   Если все миноры матрицы $ A$ порядка $ k$ равны нулю, то все миноры порядка $ {k+1}$ , если такие существуют, тоже равны нулю.

        Доказательство.     Возьмем произвольный минор порядка $ {k+1}$ . Это определитель матрицы порядка $ {k+1}$ . Разложим его по первой строке. Тогда в каждом слагаемом разложения один из множителей будет являться минором порядка $ k$ исходной матрицы. По условию миноры порядка $ k$ равны нулю. Поэтому и минор порядка $ {k+1}$ будет равен нулю.     

        Определение 14.11   Рангом матрицы $ A$ называется наибольший из порядков миноров матрицы $ A$ , отличных от нуля. Ранг нулевой матрицы считается равным нулю.         

Единое, стандартное, обозначение ранга матрицы отсутствует. Следуя учебнику  [1], мы будем обозначать его $ {\rm Rg}A$ .

      

Исследование функции на четность, нечетность и периодичность: график четной функции симметричен относительно оси ординат, график нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Математика Интегральное исчисление Основы оптики Практические занятия правила работы с матрицами и примеры матричных расчетов