Функции и их графики Непрерывность функций и точки разрыва

Компьютерная математика
Лабораторные по электронике
Работа с файлами и документами
Управление интерфейсом пользователя
Встроенные операторы и функции
Пространство в архитектуре
Компьютерные сети
Вычислительные сети
Основы передачи
дискретных данных
Базовые технологии
Построение локальных сетей
Сетевой уровень
Глобальные сети
Средства анализа
Протокол пересылки
файлов (FTP)
Монтаж локальной сети
Семейство протоколов TCP/IP
Топология ЛВС
Стандартные локальные сети
Сетевой уровень
Информатика
Учебник по программированию
C++
Служба каталогов
Active Directory
Компьютерная безопасность
Брандмауэры
Сетевая архитектура
Клиент и сервер
Турбо Паскаль Практикум
Процедуры и функции Pascal
Примеры программирования
Архитектура ЭВМ
Базы данных и СУБД
Базы данных и файловые системы
Pascal. Курс лекций
Сетевые операционные системы
Язык запросов SQL
Логическое программирование
Программа Проводник
Электронная почта E-Mail
Защита компьютерной
информации
Математика решение задач
Функции и их графики
Дифференцируемость ФНП
Вычислить интеграл
Линейное дифференциальное
уравнение
Пределы
Производные
Векторная алгебра
Корни уравнения
Кривые и поверхности
Комплексные числа
Математическая логика
Дифференцирование и
интегральное исчисление
Дифференциальные уравнения
Интегралы
Курсовые задания
Применение интегралов
Теория функций
комплексного переменного
Двойные интегралы
Дифуры
Элементарная математика
Интегральное исчисление
Математический анализ
Степенные ряды
Вычисление пределов
Типовой расчет
Подготовка к экзамену
Примеры решения задач
Лекции матан
Правило Лопиталя
Элементы теории кривых
Производные и дифференциалы
высших порядков
Непрерывные функции
Предел функции
Последовательности
Формула Тейлора
Определенные интегралы
Кратные интегралы
Тензоры
Интегралы, зависящие
от параметра
Элементы теории поля
Криволинейные интегралы
Тройные интегралы
Задачи по Кузнецову
Вычислить предел
Построить график
Комбинаторика
Исследовать систему уравнений и решить ее, если она совместна
Метод Гаусса
Математическая модель
Системы линейных уравнений
Векторная алгебра
Аналитическая геометрия
Введение в математический анализ
Производная и дифференциал
Исследование функций
Интегральное исчисление функции одной переменной
Обыкновенные дифференциальные уравнения
числовые ряды
Теория вероятностей
Дифференцируемость ФНП
Дифференцирование сложной ФНП
Абсолютный экстремум ФНП
Интегрирование функций нескольких переменных
Некоторые свойства интеграла ФНП
Геометрические свойства интеграла ФНП
Типовые задачи
Вычисление площади криволинейной поверхности
Длина дуги в декартовых координатах
Линейные дифференциальные уравнения

Метод интегрируемых комбинаций

 

 

 

Основные обозначения и определения

Всюду в тексте учебника мы будем использовать общепринятые обозначения, те, что используются и в школьных учебниках. В частности,
$ \mathbb{R}$ означает числовую прямую (множество всех вещественных чисел);
$ \mathbb{N}$ означает множество натуральных чисел $ \{1;2;3;4;\dots\}$;
$ \mathbb{Z}$ означает множество всех целых чисел $ \{\dots;-3;-2;-1;0;1;2;3;\dots\}$;
$ \varnothing $ означает пустое множество; по определению, в нём нет ни одного элемента;

Во многих вопросах геометрии, естествознания и т.д. приходится иметь дело с функциями двух, трех и более переменных.
$ [a;b]$, $ [a;b)$, $ (a;b]$ и $ (a;b)$, где $ a\in\mathbb{R}$, $ b\in\mathbb{R}$, соответственно,-- замкнутые, полуоткрытые и открытые промежутки: квадратная скобка означает, что соответствующий конец промежутка включается в множество, а круглая скобка-- что не включается;
$ (-\infty;b]$, $ (-\infty;b)$, $ (a;+\infty)$ и $ [a;+\infty)$, где $ a\in\mathbb{R}$, $ b\in\mathbb{R}$-- замкнутые и открытые лучи (бесконечные промежутки); Легкие и неприхотливые проститутка в перово ублажат Вас легко и приятно!
$ (-\infty;+\infty)$-- числовая прямая, то же, что и $ \mathbb{R}$;
$ A\cup B$-- пересечение (общая часть) множеств $ A$ и $ B$;
$ A\cap B$-- объединение множеств $ A$ и $ B$ (все точки из $ A$ и все точки из $ B$);
$ A\diagdown B$-- множество тех элементов из $ A$, которые не принадлежат $ B$;
$ A\sbs B$-- включение $ A$ в $ B$ ($ A$-- это часть $ B$);
$ x\in A$-- принадлежность элемента $ x$ множеству $ A$ ($ x$ принадлежит $ A$);
$ x\notin A$-- элемент $ x$ не принадлежит множеству $ A$;
$ \{a;b;\dots;z\}$-- множество, состоящее из элементов $ a,b,\dots,z$; в частности, $ \{a\}$-- множество из одного элемента $ a$;
$ \{x\in A: P(x)\}$-- множество всех тех элементов $ x$ из $ A$, для которых выполняется свойство $ P(x)$.

Первый способ задания функции: табличный

пример

Второй способ задания функции: с помощью формулы

Обзор некоторых элементарных функций

Третий способ задания функции: указание процедуры вычисления

Во многих случаях функцию $ f$ приходится задавать сложным образом, так как предыдущие способы задания функций не годятся.

Композиция функций

Если даны два отображения $ {f:X\to U_1}$ и $ {g:U_2\to Y}$, где $ U_2\sbs U_1$, то имеет смысл "сквозное отображение" $ {x\mapsto u\mapsto y}$ из $ X$ в $ Y$, заданное формулой $ y=g(f(x))$, $ x\in X$, которое называется композицией функций $ f$ и $ g$ и обозначается $ g\circ f$.

Обратная функция

Если $ f:A\to B$-- взаимно-однозначное отображение (биекция), то для любого $ y\in B$ однозначно определен такой элемент $ x\in A$, что $ f(x)=y$. Тем самым однозначно определено соответствие $ y\mapsto x$, называемое обратной функцией по отношению к функции $ f$. Обратная функция для $ f$ обозначается $ f^{-1}$.

Примеры и упражнения

Упражнения

Упражнение 1.6 Пусть $ f(x)=\arcsin x$, $ x\in[-1;1]$, $ g(u)=\cos u$, $ u\in\mathbb{R}$. Тогда определены композиции $ f\circ g$ и $ g\circ f$. Докажите, что при $ x\in[-1;1]$ имеет место равенство $ (g\circ f)(x)=\sqrt{1-x^2}$. Выясните также, чему равна функция $ f\circ g$ и каков её график.

 

Непрерывность функций и точки разрыва

Определение непрерывности функции

Определение Пусть функция $ f(x)$ определена на некотором интервале $ (a;b)$, для которого $ x_0$-- внутренняя точка. Функция $ f(x)$ называется непрерывной в точке $ x_0$, если существует предел $ f(x)$ при $ x\to x_0$ и этот предел равен значению $ f(x_0)$, то есть
$\displaystyle \lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0).$

Примеры, упражнения

Определение точек разрыва

Пример   Рассмотрим функцию $ f(x)=\dfrac{\vert x^2-x\vert}{x^2-x}$,

Пример   Функция $ f(x)=\dfrac{1}{x^2}$ имеет при $ x=0$ разрыв второго рода, так как $ f(x)\to+\infty$ при $ x\to0+$ и  

Пример   Рассмотрим функцию $ f(x)$, заданную равенством $\displaystyle f(x)=\lim_{n\to\infty}\cos^nx.$

Свойства функций, непрерывных в точке

   Теорема Пусть функции $ f(x)$ и $ g(x)$ непрерывны в точке $ x_0$. Тогда функции $ h_1(x)=f(x)+g(x)$, $ h_2(x)=f(x)-g(x)$, $ h_3(x)=f(x)g(x)$ непрерывны в точке $ x_0$. Если $ g(x_0)\ne0$, то функция $ h_4(x)=\dfrac{f(x)}{g(x)}$ также непрерывна в точке $ x_0$.

Непрерывность функции на интервале и на отрезке

Определение

Пример   Рассмотрим функцию $ f(x)=\cos x-x$ на отрезке $ [0;\frac{\pi}{2}]$.

Теорема об ограниченности непрерывной функции

Теорема о достижении экстремума непрерывной функцией

Равномерная непрерывность

Примеры, упражнения

Непрерывность обратной функции

Теорема Пусть $ f$ -- непрерывная монотонная функция, $ \mathcal{D}(f)=[a;b]$, $ \mathcal{E}(f)=[c;d]$. Тогда обратная к $ f$ функция $ {\varphi}$ непрерывна на отрезке $ [c;d]$.

Гиперболические функции и ареа-функции

Гиперболическим синусом называется функция $\displaystyle \mathop{\rm sh}\nolimits x=\frac{1}{2}(e^x-e^{-x}).$
Гиперболическим косинусом называется функция $\displaystyle \mathop{\rm ch}\nolimits x=\frac{1}{2}(e^x+e^{-x}).$
Гиперболическим тангенсом называется функция $\displaystyle \mathop{\rm th}\nolimits x=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}=\dfrac{\mathop{\rm sh}\nolimits x}{\mathop{\rm ch}\nolimits x}.$
Гиперболическим котангенсом называется функция $\displaystyle \mathop{\rm cth}\nolimits x=\frac{e^x+e^{-x}}{e^x-e^{-x}}=\dfrac{...
...\nolimits x}{\mathop{\rm sh}\nolimits x}=\dfrac{1}{\mathop{\rm th}\nolimits x}.$

Примеры, упражнения

Примеры и упражнения

Пределы при разных условиях. Некоторые частные случаи

Пример

Пример

Общее определение предела

Пример

Замена переменного и преобразование базы при такой замене

Бесконечно малые и локально ограниченные величины и их свойства

Общие свойства пределов

Первый и второй замечательные пределы

Бесконечно большие величины и бесконечные пределы

Пример

Использование непрерывности функций при вычислении пределов

Сравнение бесконечно малых

Таблица эквивалентных бесконечно малых

Пример

Упражнения на вычисление пределов

Формула Тейлора представления числовой функции многочленом

Многочлен Тейлора

Коэффициенты Тейлора

Остаток в формуле Тейлора и его оценка

Остаток в формуле Тейлора в форме Лагранжа

Формула Тейлора для некоторых элементарных функций

Упражнение

Оценки ошибок в формулах приближённого дифференцирования

Примеры

Математика Интегральное исчисление Основы оптики Практические занятия правила работы с матрицами и примеры матричных расчетов