Физика примеры решения задач Электротехника Задачи и лабораторные работы Математика примеры решения задач Вычислить интеграл Информатика Компьютерные сети Компьютерная математика
Дифференцируемость ФНП Дифференциалы высших порядков Производная сложной ФНП Вычислить интеграл Вычисление площади плоской фигуры Вычисление криволинейных интегралов Длина дуги в декартовых координата

Математика примеры решения задач курсового, типового расчета, контрольной работы

Типовые задачи

Вычислить повторный интеграл , восстановив область .

Решение. Интеграл вычисляется по :  (см. рисунок).

.

Аналогично: 

если область  – правильная в направлении оси , то ее удобно проектировать на ось . Пусть проекция области  на ось  есть отрезок , уравнение левой границы области , а правой границы – . Тогда для всякого  значение  точек  прямой , принадлежащих области , удовлетворяет неравенствам . Поэтому область  можно
задать в виде

 (см. рисунок).

Такому заданию области соответствует повторный интеграл . Для его вычисления находится сначала внутренний интеграл, а затем внешний.
Результат – число!

Формула Грина.

Пусть  – граница односвязной области . Функции  и их частные производные  и  непрерывны в замкнутой области  (включая ее границу ), тогда имеет место формула Грина, которая устанавливает связь между двойным интегралом по некоторой области  и криволинейным интегралом по границе   этой области:

.

Пример. Вычислить непосредственно и по формуле Грина криволинейный интеграл  если  – контур треугольника с вершинами в точках

Решение. Вычислим непосредственно криволинейный интеграл:

.

  .

(BC) – прямая, проходящая через 2 точки, имеет уравнение:

  или .

.

  .

 .

Вычислим интеграл по формуле Грина, для этого найдем частные производные

  .

 .

Итак, мы получили тот же результат:

 .


Формула Тейлора позволяет вычислять приближенно значение функции