Аренда самосвала
Физика примеры решения задач Электротехника Задачи и лабораторные работы Математика примеры решения задач Вычислить интеграл Информатика Компьютерные сети Компьютерная математика
Дифференцируемость ФНП Дифференциалы высших порядков Производная сложной ФНП Вычислить интеграл Вычисление площади плоской фигуры Вычисление криволинейных интегралов Длина дуги в декартовых координата

Математика примеры решения задач курсового, типового расчета, контрольной работы

Вычисление интеграла ФНП.

Типовые задачи

Механические приложения

ПРИМЕР 7. Пластина имеет форму прямоугольника со сторонами длиной   и . Найти массу этой пластины, если ее плотность распределения массы в произвольной точке равна квадрату расстояния от точки до одной из вершин пластины.

Решение. Введем прямоугольную систему координат так, что начало координат совпадает с вершиной, а стороны прямоугольника расположены на осях координат (см. рисунок).

Тогда  , масса пластины

.

ПРИМЕР 8. Найти центр тяжести пластины примера 7.

Решение. Координаты центра тяжести материальной фигуры ищем по формулам   и . Значение массы пластины можно считать известным (см. пример 7).
Вычислим соответствующие статистические моменты:

.

.

Поэтому ;

.

В частности, если , то центр
тяжести квадрата с   есть точка , где  
(см. рисунок).

7.7.4. Вычисление поверхностных интегралов 1 рода
(по площади поверхности)

В таблице–расшифровке  для  и фигуры  – поверхности  рассмотрен случай явного задания поверхности уравнением ; в этом случае поверхностный интеграл  сводится к двойному интегралу

по проекции  поверхности  на плоскость  с использованием уравнения  поверхности .

Аналогично:

если поверхность  задана уравнением , где  – проекция поверхности  на , то поверхность  удобно проектировать на плоскость , при этом , где  – угол между нормалью  к  в какой-либо точке и
ортой   (оси ). В качестве нормали  к частичной поверхности можно взять градиент функции , т.е. . Тогда  и ,  и 

,

т.е. поверхностный интеграл сведен к двойному интегралу по проекции поверхности на координатную плоскость с использованием соответствующего уравнения (в явной форме) поверхности.

Аналогично рассуждаем и в случае, когда поверхность  удобно проектировать на плоскость .

ЧИСЛОВЫЕ И СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ

Числовым рядом называется выражение

  (1)

где   – числа, называемые членами ряда.

Сумма   первых членов называется n-й частичной суммой ряда

.

В частности, .

Каждому числовому ряду соответствует последовательность  его частичных сумм. Если существует конечный предел

,

то число  называется суммой ряда (1), а ряд (1) называется сходящимся. Если последовательность  не имеет конечного предела, то ряд (1) называется расходящимся.

Пример. Рассмотрим ряд

Члены ряда образуют геометрическую прогрессию со знаменателем  и первым членом   

При , значит ряд расходится.

При  . Найдем .

При   

и, следовательно, ряд сходится к сумме .

При   ряд расходится, т.к. предел

.

При   ряд расходится, т.к. предел   не существует.

При :  следовательно, предел  не существует и ряд расходится.


Формула Тейлора позволяет вычислять приближенно значение функции