Физика примеры решения задач Электротехника Задачи и лабораторные работы Математика примеры решения задач Вычислить интеграл Информатика Компьютерные сети Компьютерная математика
Дифференцируемость ФНП Дифференциалы высших порядков Производная сложной ФНП Вычислить интеграл Вычисление площади плоской фигуры Вычисление криволинейных интегралов Длина дуги в декартовых координата

Математика примеры решения задач курсового, типового расчета, контрольной работы

Некоторые механические приложения интеграла ФНП

1. Масса фигуры (отрезка, дуги, плоской фигуры, части криволинейной поверхности, тела)

,

если подынтегральная функция , , задает

плотность  линейная распределения поверхностная ()

массы по  объемная ()

в зависимости от размерности фигуры, , ,  
на .

2. Статические моменты и центр масс фигуры

а) Пусть   – плоская фигура на плоскости ,  –
поверхностная плотность распределения массы по . Тогда статический момент "пластины"  относительно некоторой прямой на плоскости  есть интеграл , где  –
расстояние каждой точки "пластины"  до прямой.

В частности, статические моменты "пластины"  относительно оси  и оси  запишутся соответственно

.

Центр масс "пластины"  есть точка  на плоскости  такая, что если в ней поместить массу всей пластины, то ее статистический момент относительно любой оси равен статистическому моменту пластины относительно той же оси, т.е.

,

и отсюда формулы для нахождения координат центра тяжести
пластины :

.

б) Пусть   – фигура ("тело" ) в ;  – объемная плотность распределения массы в теле. Тогда статистические моменты тела относительно всякой плоскости находятся с помощью интеграла

,

где  – расстояние от точки   до плоскости; в частности,
интегралы

определяют статистические моменты "тела"  соответственно до плоскостей , , .

Как и для пластины , координаты центра тяжести тела  
находятся по формулам

, т.е.

.

в) Для материальной дуги  и материальной поверхности  с соответствующими функциями  – плотности (линейная и поверхностная) распределения массы по  и  статические моменты и координаты центра тяжести находятся по аналогичным формулам.

Заметим, что центр тяжести дуги, поверхности не всегда расположен на дуге или на поверхности.

Момент инерции фигуры можно вычислять относительно плоскостей, осей координат и начала координат:

,

здесь  есть квадрат расстояния точки , , до
соответствующего объекта. Например, если  или ,  – плотность распределения массы по фигуре , то

 –

моменты инерции материальной фигуры  относительно соответствующей координатной плоскости;

 –

моменты инерции материальной фигуры относительно соответствующей оси координат;

  – момент инерции материальной
фигуры   относительно начала координат.

Пример. В системе координат  построить поверхность . Составить уравнение касательной плоскости и уравнения нормали к поверхности в точке .

Решение. Рассмотрим сечение поверхности плоскостью . При  сечением является окружность  радиуса  с центром в точке ; при  плоскость не пересекает поверхность. Сечение поверхности плоскостью  – парабола . Сечение поверхности плоскостью   – парабола . Рассматриваемая поверхность является параболоидом вращения. Для составления уравнения касательной плоскости и нормали запишем уравнение поверхности в виде: 

Теперь . В точке  имеем: . Тогда уравнение касательной плоскости имеет вид:

  или ,

а уравнения нормали:

.

Точка  из области определения   функции  называется точкой максимума функции, если  для всех точек   из некоторой окрестности точки  , отличных от .

Точка  из области определения   функции  называется точкой минимума функции, если  для всех точек   из некоторой окрестности , отличных от .

Максимум и минимум функции называются ее экстремумами.

Точки области определения функции , в которых частные производные первого порядка равны нулю или не существуют, называются критическими точками данной функции. Точки экстремума всегда являются критическими, но критическая точка может и не быть точкой экстремума. Для исследования функции в критических точках применяются достаточные условия экстремума, которые мы здесь опускаем.

Экстремум функции , найденный при дополнительном условии , называется условным экстремумом. Геометрически задача нахождения условного экстремума сводится к отысканию экстремальных точек кривой, по которой поверхность  пересекается с цилиндрической поверхностью  . Если из уравнения  выразить , то задача нахождения условного экстремума сводится к отысканию экстремума функции одной переменной .

Для отыскания наибольшего и наименьшего значений функции в замкнутой области нужно найти все критические точки, лежащие внутри этой области. Затем, исследуя функцию на границе области, найти точки, в которых функция может принимать наименьшее или наибольшее значения (иногда приходится разбивать границу на несколько частей). Вычислив значения функции во всех найденных точках, путем сравнения их между собой, выбрать наименьшее и наибольшее значения.


Формула Тейлора позволяет вычислять приближенно значение функции