Физика примеры решения задач Электротехника Задачи и лабораторные работы Математика примеры решения задач Вычислить интеграл Информатика Компьютерные сети Компьютерная математика
Дифференцируемость ФНП Дифференциалы высших порядков Производная сложной ФНП Вычислить интеграл Вычисление площади плоской фигуры Вычисление криволинейных интегралов Длина дуги в декартовых координата

Математика примеры решения задач курсового, типового расчета, контрольной работы

Геометрические свойства интеграла ФНП

Площадь части криволинейной поверхности  считается с помощью поверхностного интеграла

(при  на ).

Например, если поверхность  задается уравнением ,  – проекция поверхности  на плоскость , то площадь поверхности  есть

.

Объем тела

а) Объем тела "с известной площадью сечения" считается с
помощью определенного интеграла.

б) Пусть в пространстве  задано тело, ограниченное плоскостью ,а именно плоской областью , цилиндрической поверхностью с образующей параллельной оси  и направляющей – границей  области  и поверхностью , заданной уравнением ;  – проекция поверхности  на плоскость ;  на .

Такое тело обычно называют цилиндрическим телом; объем его вычисляется с помощью двойного интеграла

.

Это согласуется с геометрическим представлением интегральной суммы   и ее пределом при  .

в) В случае, когда тело можно представить комбинированием цилиндрических тел, объем его считается через объемы этих цилиндрических тел. Для тела, ограниченного достаточно простыми
поверхностями, объем можно вычислять с помощью тройного интеграла

(  на ).

Пример. Найти частные производные второго порядка функции .

Решение.

  ,  ,

  , ,

  ,  .

Сравнивая последние два выражения, видим, что .

Прямая называется касательной к поверхности в некоторой точке , если она является касательной к какой-нибудь кривой, лежащей на поверхности и проходящей через точку .

Плоскость, в которой расположены все касательные прямые к линиям на поверхности, проходящим через данную ее точку , называется касательной плоскостью к поверхности в точке .

Прямая, проведенная через точку  поверхности перпендикулярно к касательной плоскости, называется нормалью к поверхности в точке .

Если поверхность задана уравнением , то уравнение касательной плоскости в данной точке   к поверхности имеет вид:

.

Уравнения нормали:

 .


Формула Тейлора позволяет вычислять приближенно значение функции