Математика примеры решения задач курсового, типового расчета, контрольной работы

Интегрирование функций нескольких переменных

ФНП   рассматривается на некотором множестве , , . Пусть  – ограниченное, связное и замкнутое множество точек из ; впредь для краткости такое множество  будем называть фигурой . Интеграл ФНП по фигуре  строится в зависимости от количества независимых переменных ФНП и структуры (вида) фигуры . Так, например, в школьном курсе математики содержится первоначальное понятие определенного интеграла  функции , , . Здесь функция имеет одну независимую переменную, фигура  – отрезок.

Для функции двух переменных , очевидно, интеграл можно строить на дуге  или на плоской области , , . Функция трех переменных может рассматриваться на дуге ,
на части криволинейной (может быть и прямолинейной) поверхности , на "теле" , здесь , ,  – подмножества  и т.д.

Перечисленные множества (фигуры) различаются размерностью. Под словами размерность фигуры понимаем количество координат (чисел), необходимых для задания точки на фигуре.
Отрезок , дуга  в  или в  имеют размерность  
(одноразмерные фигуры); плоская область ,  и часть
поверхности ,  – двухразмерные фигуры; "тело"  – трехразмерная фигура.

Перечисленные множества (фигуры) различаются размерностью. Под словами размерность фигуры понимаем количество координат (чисел), необходимых для задания точки на фигуре.
Отрезок , дуга  в  или в  имеют размерность  
(одноразмерные фигуры); плоская область ,  и часть
поверхности ,  – двухразмерные фигуры; "тело"  – трехразмерная фигура.

С размерностью фигуры связано интуитивно понимаемое понятие мера фигуры (сокр. ). Теория меры множества включает понятия: "спрямляемость" дуги", "квадрируемость" области,
"кубируемость" тела, устанавливая, в частности, необходимые и
достаточные условия их существования.

Сведем в таблицу предлагаемые термины для лучшего запоминания.

,	Фигура ,	Размерность фигуры ,	Мера фигуры ,
	Отрезок	, одноразмерная	Длина
	Дуга	, одно- размерная	Длина
	Плоская область	двухразмерная	Площадь
	Часть поверхности	двухразмерная	Площадь
	Тело	трехразмерная	Объем

и) .

Решение. Подынтегральная функция имеет особые точки при  и . Поэтому

. Имеем . Отсюда следует, что интеграл  сходится.

Далее, . Отсюда получим, что интегралы  также сходятся.

Наконец, .

Интегралы  однотипны. Поэтому рассмотрим . Имеем

.

Интеграл  сходится при . Отсюда следует, что сходятся интегралы , а значит, и интеграл .

Объединяя результаты, получим

Ответ: интеграл  сходится.