Интегрирование функций нескольких переменных
ФНП
рассматривается на некотором множестве
,
,
. Пусть
– ограниченное, связное и замкнутое множество точек из
; впредь для краткости такое множество
будем называть фигурой
. Интеграл ФНП по фигуре
строится в зависимости от количества независимых переменных ФНП и структуры (вида) фигуры
. Так, например, в школьном курсе математики содержится первоначальное понятие определенного интеграла
функции
,
,
. Здесь функция имеет одну независимую переменную, фигура
– отрезок.
Для функции двух переменных
, очевидно, интеграл можно строить на дуге
или на плоской области
,
,
. Функция трех переменных может рассматриваться на дуге
,
на части криволинейной (может быть и прямолинейной) поверхности, на "теле"
, здесь
,
,
– подмножества
и т.д.
Перечисленные множества (фигуры) различаются размерностью. Под словами размерность фигуры понимаем количество координат (чисел), необходимых для задания точки на фигуре.
Отрезок, дуга
в
или в
имеют размерность
![]()
(одноразмерные фигуры); плоская область,
и часть
поверхности,
– двухразмерные фигуры; "тело"
– трехразмерная фигура.
Перечисленные множества (фигуры) различаются размерностью. Под словами размерность фигуры понимаем количество координат (чисел), необходимых для задания точки на фигуре.
Отрезок, дуга
в
или в
имеют размерность
![]()
(одноразмерные фигуры); плоская область,
и часть
поверхности,
– двухразмерные фигуры; "тело"
– трехразмерная фигура.
С размерностью фигуры связано интуитивно понимаемое понятие мера фигуры (сокр.
). Теория меры множества включает понятия: "спрямляемость" дуги", "квадрируемость" области,
"кубируемость" тела, устанавливая, в частности, необходимые и
достаточные условия их существования.Сведем в таблицу предлагаемые термины для лучшего запоминания.
,
Фигура
,
Размерность фигуры
,
Мера
фигуры,
Отрезок
, одноразмерная
Длина
Дуга
, одно-
размернаяДлина
Плоская
область
двухразмерная
Площадь
Часть
поверхности
двухразмерная
Площадь
Тело
трехразмерная
Объем
и)
.
Решение. Подынтегральная функция имеет особые точки при
и
. Поэтому
. Имеем
. Отсюда следует, что интеграл
сходится.
Далее,
. Отсюда получим, что интегралы
также сходятся.
Наконец,
.
Интегралы
однотипны. Поэтому рассмотрим
. Имеем
.
Интеграл
сходится при
. Отсюда следует, что сходятся интегралы
, а значит, и интеграл
.
Объединяя результаты, получим
Ответ: интеграл
сходится.