Физика примеры решения задач Электротехника Задачи и лабораторные работы Математика примеры решения задач Вычислить интеграл Информатика Компьютерные сети Компьютерная математика
Дифференцируемость ФНП Дифференциалы высших порядков Производная сложной ФНП Вычислить интеграл Вычисление площади плоской фигуры Вычисление криволинейных интегралов Длина дуги в декартовых координата

Математика примеры решения задач курсового, типового расчета, контрольной работы

Формула Тейлора для ФНП

Формула Тейлора позволяет вычислять приближенно значение функции с любой наперед заданной точностью. Погрешность может быть установлена с помощью оценки остаточного члена.

ПРИМЕР 2. Вычислить приближенно , используя формулу Тейлора для функций  в точке .

Решение. Ищем значение функции  в точке , т.е. ; ; , причем

.

Рассмотрим сначала приближение при , т.е. . Для этого вычислим

;  и ;

  и ;

  и .

Получаем  с погрешностью не ниже (не хуже) чем .

При   , поэтому
вычисляем частные производные второго порядка функции в точке  и  при указанных значениях , , .

  и ;

  и ;

  и ;

и  ;

  и ;

  и , т.е.

.

Окончательно получаем

;

при этом гарантируется погрешность , где , т.е. .

ЗАДАНИЕ для САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

1. Разложить функцию  по формуле Тейлора в окрестности точки  до членов второго порядка включительно.

2. Функцию  представить в виде суммы степеней разностей , , .

3. Разложить по формуле Тейлора в окрестности точки  функцию  при .

4. Вычислить приближенно значение функции  в точке , взяв в формуле Тейлора .

5. Вычислить приближенно значение функции

  в точке ,
используя формулу Тейлора при .

Ответы. 1. ; применяем формулу , , . Погрешность приближенного равенства , где .

2.

; используем формулу Тейлора для  в окрестности точки  при .

3. , где .

4. .

5. .

г) .

Решение. Интеграл  является несобственным интегралом 2-го рода, особая точка  - находится внутри отрезка интегрирования. Тогда

.

Для сходимости интеграла  необходимо и достаточно, чтобы сходились оба интеграла  и .

Рассмотрим интеграл . Имеем

.

Отсюда получаем, что интеграл  расходится. Итак, независимо от поведения интеграла   интеграл  расходится.

Ответ: интеграл  расходится.

д) .

Решение. В интеграле  область интегрирования - бесконечный промежуток ; кроме того, подынтегральная функция имеет особую точку . Поэтому интеграл  разбиваем на сумму несобственных интегралов 1-го и 2-го рода:

.  (3)

Имеем

. (4)

Таким образом, используя (4), получим

.  (5)

. (6)

Подставляя (5) и (6) в (3), получим

.

Ответ: .


Формула Тейлора позволяет вычислять приближенно значение функции