Физика примеры решения задач Электротехника Задачи и лабораторные работы Математика примеры решения задач Вычислить интеграл Информатика Компьютерные сети Компьютерная математика
Дифференцируемость ФНП Дифференциалы высших порядков Производная сложной ФНП Вычислить интеграл Вычисление площади плоской фигуры Вычисление криволинейных интегралов Длина дуги в декартовых координата

Математика примеры решения задач курсового, типового расчета, контрольной работы

Дифференциалы высших порядков ФНП

Пусть в области , , задана произвольная ФНП , , имеющая непрерывные частные производные первого порядка. Полный дифференциал функции

в общем случае является функцией переменных  и
приращений , , , . Если предположить, что 1) функция  имеет непрерывные частные производные
второго порядка и 2) для любого  значения  остаются произвольными, но постоянными, то можно рассматривать полный дифференциал от , т.е.  – дифференциал второго порядка исходной функции  в точке  соответственно , , , .

Пусть ,

Тогда . Поэтому

;  – произвольные.

ПРИМЕР 1. Для функции . Найти ,  при произвольных  и .

Решение. Вычисляем последовательно частные производные  и , а затем , ; . Записываем

,

здесь можно также обозначить , .

Заметим, что если  записать в операторной форме

,

то для дифференциала второго порядка  можно использовать запись

или

,

свернув оператор формально "в квадрат суммы ".

Можно убедиться, что при соответствующих предположениях полный дифференциал третьего порядка  в операторной форме запишется 

или 

.

Например, для  (см. ранее
ПРИМЕР 1) имеем ; ; ; , т.е.

;

здесь ,   – произвольно заданные постоянные.

По аналогии можно записать

  –

полный дифференциал ""-го порядка для функции .

Для функции ,  имеем соответственно

;

;

аналогично

.

ГЛАВНОЕ ЗНАЧЕНИЕ НЕСОБСТВЕННОГО ИНТЕГРАЛА.

Определение 10. Пусть функция  определена при  и интегрируема на любом отрезке . Если существует конечный , то он называется главным значением в смысле Коши интеграла  и обозначается v.p..

Замечание 1. Если несобственный интеграл  сходится, то главное значение этого интеграла существует и равно этому интегралу:

v.p. .

Обратное, вообще говоря, не имеет места.

Замечание 2. Если функция  нечетна, то главное значение интеграла от нее существует и равно нулю.

Определение 11. Пусть функция  определена на множестве  - особая точка функции. Пусть, кроме того, функция   интегрируема на любом отрезке . Если существует конечный , то он называется главным значением в смысле Коши интеграла  и обозначается v.p..

Отметим, что для таких интегралов также справедливо замечание 1.


Формула Тейлора позволяет вычислять приближенно значение функции